📐 Derivadas básicas
¿Qué es una derivada?
La derivada de una función $f(x)$ mide cómo cambia $f$ respecto a $x$—su tasa instantánea de cambio. Formalmente,
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}. $$Sustenta las aproximaciones lineales, la optimización por gradiente y la geometría de curvas.
Consejo
En la práctica empleamos reglas algebraicas para derivar rápido, en lugar de límites desde primeros principios.
Reglas y derivadas básicas
| Regla | Función | Derivada |
|---|---|---|
| Linealidad | af + bg | a f' + b g' |
| Constante | c | 0 |
| Potencias | x^n | n x^{n-1} (n real) |
| Exponenciales | e^x | e^x |
| a^x | a^x ln a | |
| Logaritmos | ln x | 1/x |
| log_a x | 1/(x ln a) | |
| Trigonométricas | sin x | cos x |
| cos x | -sin x | |
| tan x | sec^2 x | |
| cot x | -csc^2 x | |
| sec x | sec x tan x | |
| csc x | -csc x cot x | |
| Inversas trigonométricas | arcsin x | 1/√(1-x^2) |
| arccos x | -1/√(1-x^2) | |
| arctan x | 1/(1+x^2) | |
| Regla del producto | fg | f'g + fg' |
| Regla del cociente | f/g | (f'g - fg')/g^2 (g ≠ 0) |
| Regla de la cadena | f(g(x)) | f'(g(x)) g'(x) |
Derivada interactiva
Escribe una función de $x$ y calcula $f'(x)$ simbólicamente. Usa el botón de WolframAlpha para ver explicaciones paso a paso.
Ejemplo trabajado
Sea $f(x) = \sin^2 x \cdot \ln x$. Derivamos con producto + cadena.
- Define $u(x)=\sin^2 x$ y $v(x)=\ln x$. Entonces $f=uv$ y $f'=u'v+uv'$.
- $u'(x)=2\sin x\cos x=\sin(2x)$.
- $v'(x)=\tfrac{1}{x}$ (para $x>0$).
Combinando:
$$ f'(x) = \sin(2x)\,\ln x + \frac{\sin^2 x}{x},\qquad x>0. $$Puedes verificar el resultado en el widget o en WolframAlpha.
Ejemplos rápidos
- $\dfrac{d}{dx}(x^3 - 4x) = 3x^2 - 4$.
- $\dfrac{d}{dx}(e^{2x}) = 2e^{2x}$.
- $\dfrac{d}{dx}(\ln(x^2+1)) = \dfrac{2x}{x^2+1}$ (regla de la cadena).
- $\dfrac{d}{dx}(\sin^2 x) = 2\sin x\cos x = \sin(2x)$.
Consideraciones prácticas
- Dominios: expresiones como $\ln x$ requieren $x>0$; evita denominadores nulos.
- Unidades: las derivadas trigonométricas asumen radianes.
- Estructura: identifica composiciones para aplicar la regla de la cadena de forma sistemática.
- Cálculo: el widget usa reglas simbólicas (math.js). Para desarrollos paso a paso, usa el enlace a WolframAlpha.
Referencias
- J. Stewart. Cálculo: Trascendentes tempranas. (Cengage) — https://www.cengage.com/c/calculus-early-transcendentals-8e-stewart/
- M. Spivak. Cálculo. (Publish or Perish) — https://www.mathpop.com/book.htm
- Wikipedia (ES). Derivada — https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada
- Wolfram MathWorld. Derivative — https://mathworld.wolfram.com/Derivative.html